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Mathematische Probleme/(4)
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Ich nenne noch drei speciellere Probleme aus der Zahlentheorie, nämlich eines über die Reciprocitätsgesetze, eines über diophantische Gleichungen und ein drittes aus dem Gebiete der quadratischen Formen.
Für einen beliebigen Zahlkörper soll das Reciprocitätsgesetz der l-ten Potenzreste bewiesen werden, wenn l eine ungerade Primzahl bedeutet und ferner, wenn l eine Potenz von 2 oder eine Potenz einer ungeraden Primzahl ist. Die Aufstellung des Gesetzes, wie die wesentlichen Hülfsmittel zum Beweise desselben werden sich, wie ich glaube, ergeben, wenn man die von mir entwickelte Theorie des Körpers der l ten Einheitswurzeln(21) und meine Theorie(22) des relativ-quadratischen Körpers in gehöriger Weise verallgemeinert.
Eine Diophantische Gleichung mit irgend welchen Unbekannten und mit ganzen rationalen Zahlencoefficienten sei vorgelegt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchem sich mittelst einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden. läßt, ob die Gleichung in ganzen rationalen Zahlen lösbar ist.
Unsere jetzige Kenntnis der Theorie der quadratischen Zahlkörper(23) setzt uns in den Stand, die Theorie der quadratischen Formen mit beliebig vielen Variabeln und beliebigen algebraischen Zahlencoefficienten erfolgreich in Angriff zu nehmen. Damit wird insbesondere zu der interessanten Aufgabe, eine quadratische Gleichung beliebig vieler Variabeln mit algebraischen Zahlencoeffizienten in solchen ganzen oder gebrochenen Zahlen zu lösen, die in dem durch die Coefficienten bestimmten algebraischen Rationalitätsbereiche gelegen sind.
Den Uebergang zur Algebra und Functionentheorie möge das folgende wichtige Problem bilden.
Von Kronecker
rührt der Satz her, daß jeder Abelsche Zahlkörper im Bereich der rationalen Zahlen durch Zusammensetzung aus Körpern von Einheitswurzeln entsteht. Dieser fundamentale Satz aus der Theorie der ganzzahligen Gleichungen enthält zwei Aussagen, nämlich
erstens wird durch denselben die Frage nach der Anzahl und Existenz derjenigen Gleichungen beantwortet, die einen vorgeschriebenen Grad, eine vorgeschriebene Abel
sche Gruppe und eine vorgeschriebene Diskriminante in Bezug auf den Bereich der rationalen Zahlen besitzen, und
zweitens wird behauptet, daß die Wurzeln solcher Gleichungen einen Bereich algebraischer Zahlen bilden, der genau mit demjenigen Bereiche übereinstimmt, den man erhält, wenn man in der Exponentialfunction e i π z für das Argument z der Reihe nach alle rationalen Zahlenwerte einträgt.
Die erste Aussage betrifft die Frage der Bestimmung gewisser algebraischer Zahlen durch ihre Gruppe und ihre Verzweigung; diese Frage entspricht also dem bekannten Problem der Bestimmung algebraischer Funetionen zu gegebener Riemann
scher Fläche. Die zweite Aussage liefert die verlangten Zahlen durch ein transcendentes Mittel, nämlich durch die Exponentialfunction e i π z.
Da nächst dem Bereiche der rationalen Zahlen der Bereich der imaginären quadratischen Zahlkörper der einfachste ist, so entsteht die Aufgabe, den Kronecker
schen Satz auf diesen Fall auszudehnen. Kronecker
selbst hat die Behauptung ausgesprochen, daß die Abelschen Gleichungen im Bereiche eines quadratischen Körpers durch die Transformationsgleichungen der elliptischen Functionen mit singulären Moduln gegeben werden, so daß hiernach die elliptische Function die Rolle der Exponentialfunction im vorigen Falle übernimmt. Der Beweis der Kronecker
schen Vermutung ist bisher nicht erbracht worden; doch glaube, ich, daß derselbe auf Grund der von H. Weber
entwickelten Theorie der complexen Multiplikation unter Hinzuziehung der von mir aufgestellten rein arithmetischen Sätze über Klassenkörper ohne erhebliche Schwierigkeiten gelingen muß.
Von der höchsten Bedeutung endlich erscheint mir die Ausdehnung des Kronecker
schen Satzes auf den Fall, daß an Stelle des Bereichs der rationalen Zahlen oder des imaginären quadratischen Zahlenbereiches ein beliebiger algebraischer Zahlkörper als Rationalitätsbereich zu Grunde gelegt wird; ich halte dies Problem für eines der tiefgehendsten und weittragendsten Probleme der Zahlen- und Functionentheorie.
Das Problem erweist sich von mannigfachen Seiten aus als zugänglich. Den wichtigsten Schlüssel zur Lösung des arithmetischen Teils dieses Problemes erblicke ich in dem allgemeinen Reciprocitätsgesetze der l ten Potenzreste innerhalb eines beliebig vorgelegten Zahlkörpers. Was den functionentheoretischen Teil des Problems betrifft, so wird sich der Forscher auf diesem so anziehenden Gebiete durch die merkwürdigen Analogieen leiten lassen, die zwischen der Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen und der Theorie der algebraischen Zahlen bemerkbar sind. Das Analogon zur Potenzreihenentwickelung einer algebraischen Function in der Theorie der algebraischen Zahlen hat Hensel
(24) aufgestellt und untersucht und das Analogon für den Riemann-Roch
schen Satz hat Landsberg
(25) behandelt. Auch die Analogie zwischen dem Begriff des Geschlechts einer Riemann
schen Fläche und dem Begriff der Klassenanzahl eines Zahlkörpers fällt ins Auge. Betrachten wir, um nur den einfachsten Fall zu berühren, eine Riemann
sche Fläche vom Geschlecht p = 1 und andrerseits einen Zahlkörper von der Klassenanzahl h = 2, so entspricht dem Nachweise der Existenz eines überall endlichen Integrals auf der Riemann
schen Fläche der Nachweis der Existenz einer ganzen Zahl a im Zahlkörper, die von solcher Art ist, daß die Zahl √α einen relativ unverzweigten quadratischen Körper in Bezug auf den Grundkörper darstellt. In der Theorie der algebraischen Functionen dient bekanntlich zum Nachweise jenes Riemann
schen Existenzsatzes die Methode der Randwertaufgabe; auch in der Theorie der Zahlkörper bietet der Nachweis der Existenz jener Zahl α gerade die meiste Schwierigkeit. Dieser Nachweis gelingt mit wesentlicher Hülfe des Satzes, daß es im Zahlkörper stets Primideale mit vorgeschriebenen Restcharakteren giebt; die letztere Thatsache ist also das zahlentheoretische Analogon zum Randwertproblem.
Die Gleichung des Abelschen Theorems in der Theorie der algebraischen Functionen sagt bekanntlich die notwendige und hinreichende Bedingung dafür aus, daß die betreffenden Punkte der Riemann
schen Fläche die Nullstellen einer algebraischen zur Fläche gehörigen Function sind; (das genaue Analogon des Abelschen Theorems ist in der Theorie des Zahlkörpers von der Klassenanzahl h = 2 die Gleichung des quadratischen Reciprocitätsgesetzes(26)
welche aussagt, daß das Ideal dann und nur dann ein Hauptideal des Zahlkörpers ist, wenn jene Zahl α in Bezug auf das Ideal einen positiven quadratischen Restcharakter besitzt.
Wie wir sehen, treten in dem eben gekennzeichneten Problem die drei grundlegenden Disciplinen der Mathematik, nämlich Zahlentheorie, Algebra und Functionentheorie in die innigste gegenseitige Berührung und ich bin sicher, daß insbesondere die Theorie der analytischen Functionen mehrerer Variabelen eine wesentliche Bereicherung erfahren würcle, wenn es gelänge, diejenigen Functione aufzufinden und zu diskutieren, die für einen beliebigen algebraischen Zahlkörper die entsprechende Rolle spielen, wie die Exponentialfuntion für den Körper der rationalen Zahlen und die elliptische Modulfunction für den imaginären quadratischen Zahlkörper.
Wir kommen nun zur Algebra; ich nenne im Folgenden ein Problem aus der Gleichungstheorie und eines, auf welches mich die Theorie der algebraischen Invarianten geführt hat.
Die Nomographie(27) hat die Aufgabe Gleichungen mittelst gezeichneter Curvenschaaren zu lösen, die von einem willkürlichen Parameter abhängen. Man sieht sofort, daß jede Wurzel einer Gleichung, deren Coefficienten nur von zwei Parametern abhängen, d. h. jede Function von zwei unabhängigen Veränderlichen auf mannigfache Weise durch das der Nomographie zu Grunde liegende Princip darstellbar ist. Ferner sind durch dieses Princip offenbar auch eine große Klasse von Functionen von drei und mehr Veränderlichen darstellbar, nämlich alle diejenigen Functionen, die man dadurch erzeugen kann, daß man zunächst eine Function von zwei Argumenten bildet, dann jedes dieser Argumente wieder gleich Functionen von zwei Argumenten einsetzt, an deren Stelle wiederum Functionen von zwei Argumenten treten u. s. f., wobei eine beliebige endliche Anzahl von Einschachtelungen der Functionen zweier Argumente gestattet ist. So gehört beispielsweise jede rationale Function von beliebig vielen Argumenten zur Klasse dieser durch nomographische Tafeln construirbaren Functionen; denn sie kann durch die Prozesse der Addition, Subtraction, Multiplikation und Division erzeugt werden, und jeder dieser Prozesse repräsentirt eine Function von nur zwei Argumenten. Man sieht leicht ein, daß auch die Wurzeln aller Gleichungen, die in einem natürlichen Rationalitätsbereiche durch Wurzelziehen auflösbar sind, zu der genannten Klasse von Functionen gehören; denn hier kommt zu den vier elementaren Rechnungsoperationen nur noch der Prozeß des Wurzelziehens hinzu, der ja lediglich eine Function eines Argumentes repräsentirt. Desgleichen sind die allgemeinen Gleichungen 5ten und 6ten Grades durch geeignete nomographische Tafeln auflösbar; denn diese können durch solche Tschirnhausen
transformationen, die ihrerseits nur Ausziehen von Wurzeln verlangen, in eine Form gebracht werden, deren Coefficienten nur von zwei Parametern abhängig sind.
Wahrscheinlich ist nun die Wurzel der Gleichung 7ten Grades eine solche Function ihrer Coefficienten, die nicht zu der genannten Klasse nomographisch construirbarer Functionen gehört, d. h. die sich nicht durch eine endliche Anzahl von Einschachtelungen von Functionen zweier Argumente erzeugen läßt. Um dieses einzusehen, wäre der Nachweis dafür nötig, daß die Gleichung 7ten Grades
nicht, mit Hülfe beliebiger stetiger Functionen von nur zwei Argumenten lösbar ist. Daß es überhaupt analytische Functionen von drei Argumenten x, y, z giebt, die nicht durch endlich-malige Verkettung von Functionen von nur zwei Argumenten erhalten werden können, davon habe ich mich, wie ich noch bemerken möchte, durch eine strenge Ueberlegung überzeugt.
In der Theorie der algebraischen Invarianten verdienen, wie mir scheint, die Fragen nach der Endlichkeit voller Formensysteme ein besonderes Interesse. Es ist neuerdings L. Maurer
(28) gelungen, die von P. Gordan
und mir bewiesenen Endlichkeitssätze der Invariantentheorie auf den Fall auszudehnen, daß nicht, wie in der gewöhnlichen Invariantentheorie, die allgemeine projektive Gruppe, sondern eine beliebige Untergruppe der Definition der Invarianten zu Grunde gelegt wird.
Die Beschäftigung mit der Frage nach der Endlichkeit der Invarianten hat mich auf ein einfaches Problem geführt, welches jene Frage nach der Endlichkeit der Invarianten als besonderen Fall in sich enthält, und zu dessen Lösung wahrscheinlich eine erheblich feinere Ausbildung der Theorie der Elimination und der Kronecker
schen algebraischen Modulsysteme nötig ist, als sie bisher gelungen ist.
Es seien eine Anzahl m von ganzen rationalen Functionen X1,X2,...,Xm der n Variabeln x1,x2,...,xn vorgelegt:
Jede ganze rationale Verbindung von X1,X2,...,Xm wird offenbar durch Eintragung dieser Ausdrücke notwendig stets eine ganze rationale Function von x1,x2,...,xn. Es kann jedoch sehr wohl gebrochene rationale Functionen von X1,X2,...,Xm geben, die nach Ausführung jener Substitution (S) zu ganzen Functionen in x1,x2,...,xn werden. Eine jede solche rationale Function von X1,X2,...,Xm, die nach Ausführung der Substitution (S) ganz in x1,x2,...,xn wird, möchte ich eine relativganze Function von X1,X2,...,Xm nennen. Jede ganze Function von X1,X2,...,Xm ist offenbar auch relativganz; ferner ist die Summe, die Differenz und das Product relativganzer Functionen stets wiederum relativganz.
Das entstehende Problem ist nun zu entscheiden, ob,es stets möglich ist, ein endliches System von relativganzen Functionen von X1,X2,...,Xm aufzufinden, durch die sich jede andere relativganze Function von X1,X2,...,Xm in ganzer rationaler Weise zusammensetzen läßt. Wir können das Problem noch einfacher formuliren, wenn wir den Begriff des endlichen Integritätsbereiches einführen. Unter einem endlichen Integritätsbereiche möchte ich ein solches System von Functionen verstehen, aus welchem sich eine endliche Anzahl von Functionen auswählen läßt, mit deren Hilfe alle übrigen Functionen des Systems in ganzer rationaler Weise ausdrückbar sind. Unser Problem läuft dann darauf hinaus, zu zeigen, daß die sämtlichen relativganzen Functionen eines beliebigen Rationalitätsbereiches stets einen endlichen Integritätsbereich bilden.
Es liegt auch nahe, das Problem zahlentheoretisch zu verfeinern, indem man die Coefficienten der gegebenen Functionen 1,...,m als ganze rationale Zahlen annimmt und unter den relativganzen Functionen von X1,X2,...,Xm nur solche rationalen Functionen dieser Argumente versteht, die nach Ausführung jener Substitution (S) ganze rationale Functionen von x1,x2,...,xn mit ganzen rationalen Coefficienten werden.
Ein besonderer einfacher Fall dieses verfeinerten Problems ist der folgende: Gegeben seien m ganze rationale Functionen X1,X2,...,Xm der einen Veränderlichen x mit ganzen rationalen Coefficienten und ferner eine Primzahl p. Man betrachte das System derjenigen ganzen rationalen Functionen von x, welche sich in der Gestalt
darstellen lassen, wo G eine ganze rationale Function der Argumente X1,X2,...,Xm und ph irgend eine Potenz der Primzahl p ist. Frühere Untersuchungen von mir(29) zeigen dann unmittelbar, daß alle solchen Ausdrücke bei bestimmtem Exponenten h einen endlichen Integritätsbereich bilden; die Frage ist aber hier, ob das Gleiche auch für alle Exponenten h zugleich gilt, d.h. ob sich eine endliche Anzahl von solchen Ausdrücken auswählen läßt, durch die jeder andere Ausdruck von jener Gestalt für irgend einen Exponenten h ganz und rational darstellbar ist. und rational darstellbar ist.
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