Mathematische Probleme/(6)

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Mathematische Probleme (6) written by David Hilbert

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21. Beweis der Existenz linearer Differentialgleichungen mit vorgeschriebener Monodromiegruppe.

Aus der Theorie der linearen Diferentialgleichungen mit einer unabhängigen Veränderlichen z möchte ich auf ein wichtiges Problem hinweisen, welches wohl bereits Riemann im Sinne gehabt hat, und welches darin besteht, zu zeigen, daß es stets eine lineare Differentialgleichung der Fuchsschen Klasse mit gegebenen singulären Stellen und einer gegebenen Monodromiegruppe giebt. Die Aufgabe verlangt also die Auffindung von n Functionen der Variabeln z, die sich überall in der complexen z-Ebene regulär verhalten, außer etwa in den gegebenen singulären Stellen: in diesen dürfen sie nur von endlich hoher Ordnung unendlich werden und beim Umlauf der Variabeln z um dieselben erfahren sie die gegebenen linearen Substitutionen. Die Existenz solcher Differentialgleichungen ist durch Constantenzählung wahrscheinlich gemacht worden, doch gelang der strenge Beweis bisher nur in dem besonderen Falle, wo die Wurzeln der Fundamentalgleichungen der gegebenen Substitutionen sämtlich vom absoluten Betrage 1 sind. Diesen Beweis hat L. Schlesinger {Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen, Bd. 2, Teil 2 No. 366} auf Grund der Poincaréschen Theorie der Fuchsschen zeta-Functionen erbracht. Es würde offenbar die Theorie der linearen Diferentialgleichungen ein wesentlich abgeschlosseneres Bild zeigen, wenn die allgemeine Erledigung des bezeichneten Problems gelänge.

22. Uniformisirung analytischer Beziehungen mittelst automorpher Functionen.

Wie Poincaré zuerst bewiesen hat, gelingt die Uniformisirung einer beliebigen algebraischen Beziehung zwischen zwei Variabeln stets durch automorphe Functionen einer Variabeln; d. h. wenn eine beliebige algebraische Gleichung zwischen zwei Variabeln vorgelegt ist, so lassen sich für dieselben stets solche eindeutigen automorphen Functionen einer Variabeln finden, nach deren Einsetzung die algebraische Gleichung identisch in dieser Variabeln erfüllt ist. Die Verallgemeinerung dieses fundamentalen Satzes auf nicht algebraische, sondern beliebige analytische Beziehungen zwischen zwei Variabeln hat Poincaré {Bulletin de la Société Mathématique de France XI. 1883} ebenfalls mit Erfolg in Angriff genommen und zwar auf einem völlig anderen Wege als derjenige war, der ihn bei dem anfangs genannten speciellen Probleme zum Ziele führte. Aus Poincarés Beweis für die Möglichkeit der Uniformisirung einer beliebigen analytischen Beziehung zwischen zwei Variabeln geht jedoch noch nicht hervor, ob es möglich ist, die eindeutigen Functionen der neuen Variabeln so zu wählen, daß, während diese Variabele das reguläre Gebiet jener Functionen durchläuft, auch wirklich die Gesamtheit aller regulären Stellen des vorgelegten, analytischen Gebildes zur Darstellung gelangt. Vielmehr scheinen in Poincarés Untersuchungen, abgesehen von den Verzweigungspunkten, noch gewisse andere im Allgemeinen unendlichviele diskrete Stellen vorgelegten analytischen Gebildes ausgenommen zu sein, zu denen man nur gelangt, indem man die neue Variable gewissen Grenzstellen der Functionen nähert. Eine Klärung und Lösung dieser Schwierigkeit scheint mir in Anbetracht der fundamentalen Bedeutung der Poincaréschen Fragestellung äußerst wünschenswert.

Im Anschluß an dieses Problem bietet sich das Problem der Uniformisirung einer algebraischen oder beliebigen analytischen Beziehung zwischen drei oder mehr complexen Veränderlichen - ein Problem, das bekanntlich in zahlreichen besonderen Fällen lösbar ist, und für welches die neueren Untersuchungen von Picard über algebraische Functionen von zwei Variabeln als willkommene und bedeutsame Vorarbeiten in Anspruch zu nehmen sind.

23. Weiterführung der Methoden der Variationsrechnung

Bisher habe ich im Allgemeinen möglichst bestimmte und specielle Probleme genannt, in der Erwägung, daß es gerade die bestimmten und speciellen Probleme sind, die uns am meisten anziehen und von denen oft der nachhaltigste Einfluß auf die Gesamtwissenschaft ausgeht. Dennoch möchte ich mit einem allgemeinen Probleme schließen, nämlich mit dem Hinweise auf eine Disciplin, die bereits mehrmals in meinem Vortrage Erwähnung fand - eine Disciplin, die trotz der erheblichen Förderung, die sie in neuerer Zeit durch Weierstrass erfahren hat, dennoch nicht die allgemeine Schätzung genießt, die ihr meiner Ansicht nach zukommt - ich meine die Variationsrechnung. {Lehrbücher sind: Moigno-Lindelöf ``Leçons du calcul des variations, Paris 1861 und A. Kneser, ``Lehrbuch der Variationsrechnung, Braunschweig 1900}

Die Variationsrechnung im weitesten Sinne ist die Lehre vom Variiren der Functionen und erscheint uns als solche wie eine denknotwendige Fortsetzung der Diferential- und Integralrechnung. So aufgefaßt, bilden beispielsweise die Poincaréschen Untersuchungen über das Dreikörperproblem ein Kapitel der Variationsrechnung, insofern darin Poincaré aus bekannten Bahncurven von gewisser Beschaffenheit durch das Princip des Variirens neue Bahncurven von ähnlicher Beschaffenheit ableitet.

Den am Anfange meines Vortrags gemachten allgemeinen Bemerkungen über Variationsrechnung füge ich hier eine kurze Begründung hinzu.

Das einfachste Problem der eigentlichen Variationsrechnung besteht bekanntlich darin, eine Funktion y der Veränderlichen x derart zu finden, daß das bestimmte Integral

$J={\int }_a^{b}F(y_x,y;x)dx,[y_x=\frac{dy}{dx}]$

einen Minimalwert erhält im Vergleich zu denjenigen Werten, die das Integral annimmt, wenn wir statt y andere Funktionen von x mit den nämlichen gegebenen Anfangs- und Endwerten in das bestimmte Integral einsetzen. Das Verschwinden der ersten Variation im üblichen Sinne

$\delta J=0$

liefert für die gesuchte Funktion y die bekannte Differentialgleichung zweiter Ordnung

$(1)\frac{d{F}_{y_x}}{dx}-F_y=0$

Um nun des Näheren die notwendigen und hinreichenden Kriterien für das Eintreten des verlangten Minimums zu untersuchen, betrachten wir das Integral

$J^{\ast }={\int }_a^b\{F+(y_x-p)F_p\}dx$ $[F=F(p,y;x)]$

und fragen, wie darin p als Funktion von x, y zu nehmen ist, damit der Wert dieses Integrals J* von dem Integrationswege d. h. von der Wahl der Function y der Variabeln x unabhängig wird. Das Integral J* hat die Form

$J^{\ast }={\int }_a^b\{A{y}_x-B\}dx$

wo A und B nicht yx enthalten, und das Verschwinden der ersten Variation

$\delta J^{\ast }=0$

in dem Sinne, den die neue Fragestellung erfordert, liefert die Gleichung

$\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}=0$

d.h. wir erhalten für die Funktion p der beiden Veränderlichen x, y die partielle Differentialgleichung erster Ordnung

$(1^{\ast })\frac{\partial F_p}{\partial x}+\frac{\partial (p{F}_p-F)}{\partial y}=0$

Die gewöhnliche Diferentialgleichung zweiter Ordnung (1) und die eben gefundene partielle Differentialgleichung (1*) stehen zu einander in engster Beziehung. Diese Beziehung wird uns unmittelbar deutlich durch die folgende einfache Umformung:

$\delta J^{\ast }={\int }_a^b\{F_y\delta y+F_p\delta p+(\delta y_x-\delta p)F_p+(y_x-p)\delta F_p\}dx$ $={\int }_a^b\{F_y\delta y+\delta y_x{F}_p+(y_x-p)\delta F_p\}dx$ $=\delta J+{\int }_a^b(y_x-p)\delta F_p\}dx.$

Wir entnehmen nämlich hieraus folgende Thatsachen: wenn wir uns irgend eine einfache Schaar von Integralcurven der gewöhnlichen Diferentialgleichung zweiter Ordnung (1) verschaffen und dann eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung

$(2)y_x=p(x,y)$

bilden, die diese Integralcurven ebenfalls als Lösungen zuläßt, so ist stets die Funktion p(x,y) ein Integral der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung (1*); und umgekehrt, wenn p(x,y) irgend eine Lösung der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung (1*) bedeutet, so sind die sämtlichen nicht singulären Integrale der gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung (2) zugleich Integrale der DifFerentialgleichung zweiter Ordnung (1); oder kurz ausgedrückt: wenn yx = p(x,y) eine Integralgleichung erster Ordnung der Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) ist, so stellt p(x,y) ein Integral der partiellen Differentialgleichugg (1*) dar und umgekehrt; die Integralcurven der gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) sind also zugleich die Charakteristiken der partiellen Differentialgleichnng erster Ordnung (1*).

In dem vorliegenden Falle finden wir das nämliche Resultat auch mittelst einer einfachen Rechnung; diese liefert uns nämlich die in Rede stehenden Differentialgleichungen (1) bez. (1*) in der Gestalt

$(1)y_{xx}{F}_{y_x{y}_x}+y_x{F}_{y_{x}y}+F_{y_{x}x}-F_y=0$ $(1^{\ast })(p_x+p{p}_x)F_{pp}+p{F}_{py}+F_{px}-F_y=0$

wo die unteren Indices in leichtverständlicher Schreibweise die partiellen Ableitungen nach x, y, p, yx bedeuten. Hieraus leuchtet die Richtigkeit der behaupteten Beziehung ein.

Die vorhin aufgestellte und soeben bewiesene enge Beziehung zwischen der gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) und der partiellen Differentiaigleichung erster Ordnung (1*) ist, wie mir scheint, für die Variationsrechnung von grundlegender Bedeutung. Denn wegen der Unabhängigkeit des Integrales J* vom Integrationswege folgt nunmehr

$(3){\int }_a^b\{F(p)+(y_x-p)F_p(p)\}dx={\int }_a^{b}F(Y_x)dx$

wenn wir das Integral linker Hand auf irgend einem Wege y und das Integral rechter Hand auf einer Integralcurve Y der Differentialgleichung

$Y_x=p(x,Y)$

genommen denken. Mit Hülfe der Gleichung (3) gelangen wir zu der Weierstrassschen Formel

$(4){\int }_a^{b}F(y_x)dx-{\int }_a^{b}F(Y_x)dx={\int }_a^{b}E(y_x,p)dx$

wo E den von den 4 Argumenten yx, p, y, x abhängigen Weierstrassschen Ausdruck

$E(y_x,p)=F(y_x)-F(p)-(y_x-p)F_p(p)$

bezeichnet. Da es hiernach lediglich darauf ankommt, die in Rede stehende Integralcurve y in der xy-Ebene auf eindeutige und stetige Weise mit Werten einer entsprechenden Integralfunktion p(x,y) zu umgeben, so führen die eben angedeuteten Entwickelungen unmittelbar - ohne Heranziehung der zweiten Variation sondern allein durch Anwendung des Polarenprocesses auf die Differentialgleichung (1) - zur Aufstellung der Jacobischen Bedingung und zur Beantwortung der Frage, inwiefern diese Jacobische Bedingung im Verein mit der Weierstrassschen Bedingung E > 0 für das Eintreten eines Minimums notwendig und hinreichend ist.

Die angedeuteten Entwickelungen, lassen sich ohne daß eine weitere Rechnung nötig, wäre, auf den Fall zweier oder mehr gesuchter Funktionen, sowie auf den Fall eines Doppel- oder mehrfachen Integrals übertragen. So liefert beispielsweise im Fall des über ein gegebenes Gebiet w erstreckenden Doppelintegrals

$J=\int F(z_x,z_y,z;x,y)d\omega$

das im üblichen Sinne zu verstehende Verschwinden der ersten Variation

$\delta J=0$

für die gesuchte Funktion z von x, y die bekannte Differentialgleichung zweiter Ordnung

$(1)\frac{d{F}_{z_x}}{dx}+\frac{d{F}_y}{dy}-F_x=0$

Andererseits betrachten wir das Integral

$J^{\ast }=\int \{F+(z_x-p)F_p+(z_y-q)F_q\}d\omega$ $[F=F(p,q,z;x,y)]$

und fragen, wie darin p und q als Funktionen von x, y, z zu nehmen sind, damit der Wert dieses Integrals von der Wahl der durch die gegebene geschlossene Raumcurve gelegten Fläche d. h. von der Wahl der Funktion z der Variabeln x, y unabhängig wird. Das Integral J* hat die Form

$J^{\ast }=\int \{A{z}_x+B{z}_y-C\}d\omega$

und das Verschwinden der ersten Variation

$\delta J^{\ast }=0$

in dem Sinne, den die neue Fragestellung erfordert, liefert die Gleichung

$\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}=0,$

d.h. wir erhalten für die Funktionen p und q der drei Variabeln x, y, z die Differentialgleichung erster Ordnung

$(I^{\ast })\frac{\partial F_p}{\partial x}+\frac{\partial F_q}{\partial y}+\frac{\partial (p{F}_p+q{F}_q-F)}{\partial z}=0.$

Fügen wir zu dieser Differentialgleichung noch die aus den Gleichungen

$z_x=p(x,y,z),z_y=q(x,y,z)$

resultirende partielle Differentialgleichung

$(I^{\ast })p_y+q{p}_x=q_x+p{q}_z$

hinzu, so stehen die partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung (I) für die Funktion z der zwei Veränderlichen x, y und das simultane System der zwei partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung (I*) für die zwei Funktionen p und q der drei Veränderlichen x, y, z zu einander genau in der analogen Beziehung, wie vorhin im Falle eines einfachen Integrals die Differentialgleichungen (1) und (1*).

Wegen der Unabhängigkeit des Integrals J* von der Wahl der Integrationsfläche z folgt:

$\int \{F(p,q)+(z_x-p)F_p(p,q)+(z_y-q)F_q(p,q)\}d\omega =\int F(Z_x,Z_y)d\omega$

wenn wir das Integral rechter Hand auf einer Integralfläche Z der partiellen Differentialgleichungen

$Z_x=p(x,y,Z),Z_y=q(x,y,Z)$

genommen denken und mit Hülfe dieser Formel gelangen wir dann sofort zu der Formel

$(\mathrm{I}\mathrm{V})\int F(z_x,z_y)d\omega -\int F(Z_x,Z_y)d\omega =\int F(z_x,z_y,p,q)d\omega$ $[E(z_x,z_y,p,q)=F(z_x,z_y)-F(p,q)-(z_x-p)F_p(p,q)-(z_y-q)F_q(p)F_p(p,q)],$

die für die Variation der Doppelintegrale die nämliche Rolle spielt, wie die vorhin angegebene Formel (4) für die einfachen Integrale und mit deren Hülfe wir wiederum die Frage beantworten können, inwiefern die Jacobische Bedingung im Verein mit der Weierstrassschen Bedingung E > 0 für das Eintreten eines Minimums notwendig und hinreichend ist.

Die genannten Probleme sind nur Proben von Problemen; sie genügen jedoch, um uns vor Augen zu führen, wie reich, wie mannigfach und wie ausgedehnt die mathematische Wissenschaft schon heute ist und es drängt sich uns die Frage auf, ob der Mathematik einst bevorsteht, was anderen Wissenschaften längst widerfahren ist, nämlich daß sie in einzelne Teilwissenschaften zerfällt, deren Vertreter kaum noch einander verstehen und deren Zusammenhang daher immer loser wird. Ich glaube und wünsche dies nicht; die mathematische Wissenschaft ist meiner Ansicht nach ein unteilbares Ganze, ein Organismus, dessen Lebensfähigkeit durch den Zusammenhang seiner Teile bedingt wird. Denn bei aller Verschiedenheit des mathematischen Wissenstoffes im Einzelnen, gewahren wir doch sehr deutlich die Gleichheit der logischen Hülfsmittel, die Verwandtschaft der Ideenbildungen in der ganzen Mathematik und die zahlreichen Analogieen in ihren verschiedenen Wissensgebieten. Auch bemerken wir: je weiter eine mathematische Theorie ausgebildet wird, desto harmonischer und einheitlicher gestaltet sich ihr Aufbau und ungeahnte Beziehungen zwischen bisher getrennten Wissenszweigen, werden entdeckt. So kommt es, daß mit der Ausdehnung der Mathematik ihr einheitlicher Charakter nicht verloren geht, sondern desto deutlicher offenbar wird.

Aber - so fragen wir - wird es bei der Ausdehnung des mathematischen Wissens für den einzelnen Forscher nicht schließlich unmöglich, alle Teile dieses Wissens zu umfassen? Ich möchte als Antwort darauf hinweisen, wie sehr es im Wesen der mathematischen Wissenschaft liegt, daß jeder wirkliche Fortschritt stets Hand in Hand geht mit der Auffindung schärferer Hülfsmittel und einfacherer Methoden, die zugleich das Verständnis früherer Theorieen erleichtern und umständliche ältere Entwickelungen beseitigen und daß es daher dem einzelnen Forscher, indem er sich diese schärferen Hülfsmittel und einfacheren Methoden zu eigen macht, leichter gelingt, sich in den verschiedenen Wissenszweigen der Mathematik zu orientiren als dies für irgend eine andere Wissenschaft der Fall ist. Der einheitliche Charakter der Mathematik liegt im inneren Wesen dieser Wissenschaft begründet; denn die Mathematik ist die Grundlage alles exacten naturwissenschaftlichen Erkennens. Damit sie diese hohe Bestimmung vollkommen erfülle, mögen ihr im neuen Jahrhundert geniale Meister erstehen und zahlreiche in edlem Eifer erglühende Jünger!

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